單因素方差分析-ESG跨境

單因素方差分析

單因素方差分析

單因素方差分析（One Way ANOVA）

什么是單因素方差分析

單因素方差分析是指對單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對試驗(yàn)結(jié)果有無顯著性影響的方法。

單因素方差分析是兩個(gè)樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗(yàn)結(jié)果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計(jì)方法。

單因素方差分析相關(guān)概念

單因素方差分析示例

例如，將抗生素注入人體會產(chǎn)生抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的現(xiàn)象，以致減少了藥效。下表列出了5種常用的抗生素注入到牛的體內(nèi)時(shí)，抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比。現(xiàn)需要在顯著性水平α = 0.05下檢驗(yàn)這些百分比的均值有無顯著的差異。設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同。

在這里，試驗(yàn)的指標(biāo)是抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比，抗生素為因素，不同的5種抗生素就是這個(gè)因素的五個(gè)不同的水平。假定除抗生素這一因素外，其余的一切條件都相同。這就是單因素試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是要考察這些抗生素與血漿蛋白質(zhì)結(jié)合的百分比的均值有無顯著的差異。即考察抗生素這一因素對這些百分比有無顯著影響。這就是一個(gè)典型的單因素試驗(yàn)的方差分析問題。

與通常的統(tǒng)計(jì)推斷問題一樣，方差分析的任務(wù)也是先根據(jù)實(shí)際情況提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1，然后尋找適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。本節(jié)將借用上面的實(shí)例來討論單因素試驗(yàn)的方差分析問題。

在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）個(gè)水平，在每一個(gè)水平下進(jìn)行了nj = 4次獨(dú)立試驗(yàn)，得到如上表所示的結(jié)果。這些結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。表中的數(shù)據(jù)可以看成來自s個(gè)不同總體（每個(gè)水平對應(yīng)一個(gè)總體）的樣本值，將各個(gè)總體的均值依次記為,則按題意需檢驗(yàn)假設(shè)

不全相等

為了便于討論，現(xiàn)在引入總平均μ

其中：

再引入水平Aj的效應(yīng)δj

顯然有，δj表示水平Aj下的總體平均值與總平均的差異。

利用這些記號，本例的假設(shè)就等價(jià)于假設(shè)

不全為零

因此，單因素方差分析的任務(wù)就是檢驗(yàn)s個(gè)總體的均值μj是否相等，也就等價(jià)于檢驗(yàn)各水平Aj的效應(yīng)δj是否都等于零。

2. 檢驗(yàn)所需的統(tǒng)計(jì)量

假設(shè)各總體服從正態(tài)分布，且方差相同，即假定各個(gè)水平下的樣本來自正態(tài)總體N(μj,σ)，μj與σ未知，且設(shè)不同水平Aj下的樣本之間相互獨(dú)立，則單因素方差分析所需的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以從總平方和的分解導(dǎo)出來。下面先引入：

水平Aj下的樣本平均值:

數(shù)據(jù)的總平均:

總平方和:

總平方和ST反映了全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，因此ST又稱為總變差。將其分解為

ST = SE + SA

其中:

上述SE的各項(xiàng)表示了在水平Aj下，樣本觀察值與樣本均值的差異，這是由隨機(jī)誤差所引起的，因此SE叫做誤差平方和。SA的各項(xiàng)表示了在水平Aj下的樣本平均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，這是由水平Aj以及隨機(jī)誤差所引起的，因此SA叫做因素A的效應(yīng)平方和。

可以證明SA與SE相互獨(dú)立，且當(dāng)為真時(shí)，SA與SE分別服從自由度為s   1,n ? s的χ分布，即

SA / σ?χ(s ? 1)

SE / σ?χ(n ? s)

于是，當(dāng)為真時(shí)

這就是單因素方差分析所需的服從F分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

3. 假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域

通過上面的分析可得，在顯著性水平α下，本檢驗(yàn)問題的拒絕域?yàn)?/p>

為了方便分析比較，通常將上述分析結(jié)果編排成如下表所示的方差分析表。表中的分別稱為SA,SE的均方。

特別聲明：以上文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，不代表ESG跨境電商觀點(diǎn)或立場。如有關(guān)于作品內(nèi)容、版權(quán)或其它問題請于作品發(fā)表后的30日內(nèi)與ESG跨境電商聯(lián)系。